Möbiusband 

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Möbiusband

geometrisches Objekt, berandete Fläche mit nur einer Seite

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Möbiusband, Möbiusschleife oder Möbius’sches Band bezeichnet eine Fläche, die nur eine Kante und eine Seite hat. Sie ist nicht orientierbar, das heißt, man kann nicht zwischen unten und oben oder zwischen innen und außen unterscheiden.

Möbiusband aus Papier

Möbiusband aus Granit: Skulptur unendliche Schleife von Max Bill aus Tranas-Granit; Stadtgarten Essen (an der Hohenzollernstraße)

Das Möbiusband wurde im Jahr 1858 unabhängig voneinander von dem Göttinger Mathematiker und Physiker Johann Benedict Listing und dem Leipziger Mathematiker und Astronomen August Ferdinand Möbius beschrieben.^[1]

Beschreibung

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Dauer: 5 Sekunden.0:05

Kugeln auf dem Rand eines Möbiusbandes tauschen die Seiten

Ein Möbiusband ist leicht herzustellen, indem man einen längeren Streifen Papier mit beiden Enden ringförmig zusammenklebt, ein Ende aber vor dem Zusammenkleben um 180° verdreht. Solche Möbiusbänder besitzen eine Mittellinie, die keinen Kreis einnehmen kann – es sei denn, das Band wird örtlich gedehnt. Die Form, die ein solches Band ungedehnt einnehmen kann, wird vollständig durch den Verlauf der Mittellinie beschrieben.^[2] Möbiusbänder, deren Mittellinie auch im entspannten Zustand ein Kreis ist, können nicht aus einem geraden zweidimensionalen Papierstreifen gefertigt werden – sie besitzen entlang ihres Umfanges ungleich geformte Teilelemente, aus denen zusammengesetzt sie gedacht werden können.

Möbiusbänder sind chiral.

Das Möbiusband geht derart in sich selbst über, dass man, wenn man auf einer der scheinbar zwei Seiten beginnt, die Fläche einzufärben, zum Schluss das ganze Objekt gefärbt hat.

1-mal geschlitztes Möbiusband

2-mal geschlitztes Möbiusband

Andere interessante Effekte entstehen, wenn man auf dem Band eine Mittellinie oder zwei zur Mittellinie parallele Linien einzeichnet und das Band entlang dieser Linie(n) aufschneidet, also es scheinbar halbiert oder drittelt. Im ersten Fall, also beim Durchschneiden entlang der Mittellinie, entsteht ein zweifach verdrillter (um 720° in sich verdrehter) Ring mit zwei Seiten und zwei Rändern. Im zweiten Fall entsteht aus den äußeren Dritteln ein zweifach verdrillter Ring wie im ersten Fall, das mittlere Drittel ergibt ein neues, darin hängendes Möbiusband. Dieses Spiel kann man mit beliebig kleiner Einteilung fortsetzen: „viertelt“ man das Band, entstehen zwei doppelt verdrillte Bänder, die nicht nur ineinander hängen, sondern auch noch einmal häufiger umeinander geschlungen sind; „fünftelt“ man es, entsteht dieselbe Figur mit einem zusätzlichen inneren Möbiusband, das in den beiden Ringen hängt; „sechstelt“ man das Band, erhält man zwei Ringe, die sich doppelt umschlingen und von einem weiteren Ring doppelt umschlungen werden, wobei der äußere und die beiden inneren Ringe beliebig untereinander austauschbar sind; „siebtelt“ man es wiederum, kommt wieder ein Möbiusband hinzu, das in den drei Ringen hängt usw. Ist ${\displaystyle n}$ der Nenner des Bruchteils, in den man das Band scheinbar einteilt, und ist ${\displaystyle n}$ gerade, also ${\displaystyle n=2r}$, so erhält man ${\displaystyle r}$ Ringe; ist ${\displaystyle n}$ ungerade, ${\displaystyle n=2r+1}$, so ist zusätzlich ein Möbiusband durch die Ringe geschlungen.

Mathematisch gesehen ist das Möbiusband eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit. Eine weitere Fläche, die in diese Kategorie gehört, ist die Kleinsche Flasche; man kann eine Kleinsche Flasche so in zwei Teile zerlegen, dass aus ihr zwei Möbiusbänder entstehen.

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Möbiusband - Wikipedia 

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